ΑΜΦΙΣΒΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΥΠΕΡΟΧΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΦΥΛΗΣ
του Emmanuel Lizcano
ΤΙ ΘΑ ΣΥΜΒΕΙ αν αντιστρέψουμε το βλέμμα του εθνομαθηματικού; Πώς θα έβλεπε ένας επαγγελματίας της κινέζικης άλγεβρας τα μαθηματικά που ανέπτυξαν άνθρωποι όπως ο Γαλιλαίος ή ο Καρτέσιος; Αναμφίβολα θα έβλεπε έναν λαό αδέξιο στον χειρισμό μαθηματικών εξισώσεων. Θα έβρισκε «ίχνη» εννοιών όπως το zheng (θετικοί αριθμοί), το fu (αρνητικοί αριθμοί), και το wu (μηδέν), χρησιμοποιημένα όμως με πρωτόγονο τρόπο. Θα παρατηρούσε ότι ο πιο αξιοσέβαστος διανοητής τους, ο Immanuel Kant, ακόμα συζητούσε κατά πόσο το fu είναι καν αριθμός, αποκαλώντας το «αρνητικό», λες και του έλειπε κάτι, ή σαν να ήταν κάτι κακό. Θα έβλεπε τις «απαρχές» λειτουργιών όπως το xiang xiao μέσω των οποίων οι Κινέζοι πρόγονοί του έλυναν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους από αμνημονεύτων χρόνων. Και θα εξοργιζόταν όταν μάθαινε ότι αυτή η μέθοδος είχε αντιγραφτεί παράνομα και είχε μελετηθεί στην Ευρώπη ως η μέθοδος του Gauss, χωρίς ίχνος αναφοράς στην καταγωγή της.
Όμως αν ο μαθηματικός μας ήταν επίσης και ανθρωπολόγος, δεν θα έβλεπε μονάχα ανικανότητα, υπεροψία και λεηλασία στους Ευρωπαίους σύγχρονούς του. Θα έβλεπε, επίσης, ότι τα μαθηματικά τους δεν είχαν εξελιχθεί περαιτέρω, εξαιτίας των πεποιθήσεων που ίσχυαν σε αυτή την παράξενη φυλή. Θα έλεγε ότι τα εξωτικά μαθηματικά των Ευρωπαίων εξέφραζαν έναν ιδιαίτερο τρόπο θεώρησης του κόσμου και των σχέσεων μεταξύ των ανθρώπων.
Για παράδειγμα, θα εξηγούσε ότι οι δυσκολίες των Ευρωπαίων με την έννοια του wu, το οποίο ενστικτωδώς αποκάλεσαν «μηδέν», σχετίζονται με τον βαθύ φόβο της κουλτούρας τους για το κενό, ο οποίος οδήγησε τους φυσικούς τους να γεμίσουν τον χώρο με μυστηριώδη ρευστά, όπως ο «αιθέρας» και εξανάγκαζε τους ζωγράφους τους να γεμίζουν τους καμβάδες τους με μπογιά, χωρίς ποτέ να αφήνουν να φανεί ο άδειος (wu) καμβάς. Πώς να μην θεωρήσουν ότι μονάχα οι θετικοί αριθμοί είναι φυσικοί, όταν γι’ αυτούς τους ανθρώπους υπήρχαν μονάχα πράγματα με οντότητα κι όλα τα άλλα ήταν απλή φαντασία;
Αυτό που αποκαλούμε μαθηματικά μπορεί να κατανοηθεί ως το ξεδίπλωμα μιας σειράς τυπικών συμβάσεων, που χαρακτήριζε μια συγκεκριμένη φυλή από την Ευρώπη και τον τρόπο που τα μέλη της κατανοούσαν τον κόσμο. Εφόσον οι πρώτοι μαθηματικοί κατοικούσαν σε πόλεις ή άστεα, μπορούμε να αποκαλούμε αυτή τη φυλή «αστική φυλή» και τα μαθηματικά τους «αστικά μαθηματικά». Αυτά τα μαθηματικά, με τα οποία οι περισσότεροι από εμάς έχουμε έρθει σε επαφή, αντανακλούν έναν πολύ συγκεκριμένο τρόπο αντίληψης του χώρου και του χρόνου, ταξινόμησης και διάταξης του κόσμου, σύλληψης του τι είναι και τι δεν είναι δυνατόν. Το γεγονός ότι αυτά τα μαθηματικά έχουν καταφέρει να αποκρύψουν τις προλήψεις και τις προκαταλήψεις πάνω στις οποίες στηρίχτηκαν και το ότι, ως εκ τούτου, επιβλήθηκαν σε όλες τις άλλες φυλές και τους λαούς, δεν αποτελεί επαρκή λόγο για να θεωρούνται μοντέλο όλων των πιθανών μαθηματικών.
Ας αναλογιστούμε την αριθμητική που απεικονίζεται σε έναν πίνακα από νεφρίτη στην αρχαία Κίνα: «Το Tso tchouan εξιστορεί τις διαβουλεύσεις ενός πολεμικού συμβουλίου: Πρέπει να γίνει επίθεση στον εχθρό; Ο αρχιστράτηγος τείνει προς την ιδέα της μάχης, όμως χρειάζεται την υποστήριξη των υφισταμένων του κι έτσι ξεκινάει ζητώντας την άποψή τους. Δώδεκα στρατηγοί συμμετέχουν στο συμβούλιο, συμπεριλαμβανομένου και του αρχιστράτηγου. Τρεις στρατηγοί αρνούνται να μπουν σε μάχη και οκτώ επιθυμούν να πολεμήσουν. Οι οκτώ είναι πλειοψηφία και απαιτούν να αναγνωριστούν ως τέτοια. Ωστόσο, για τον αρχιστράτηγο, η γνώμη των οκτώ ψήφων δεν είναι πιο σημαντική από εκείνη των τριών: To τρία αποτελεί σχεδόν ομοφωνία, που είναι κάτι πολύ διαφορετικό από την πλειοψηφία. Ο αρχιστράτηγος δεν θα πολεμήσει. Αλλάζει γνώμη. Η άποψη που υποστηρίζει, δανείζοντάς της την προσωπική του φωνή, καθιερώνεται ως η ομόφωνη άποψη».
Σε αυτή τη συγκεκριμένη αριθμητική, οι αριθμοί έχουν νοήματα που οι δικοί μας δεν έχουν. Σύμφωνα με τον Marcel Granet, για τους Κινέζους, «οι αριθμοί δεν έχουν στόχο να εκφράσουν μεγέθη, αλλά να προσαρμόσουν συγκεκριμένες διαστάσεις στις αναλογίες του σύμπαντος. Αντί να μετρούν, αντιτίθενται ο ένας στον άλλον και αφομοιώνουν. Δηλαδή τα πράγματα δεν μετριούνται. Εμπεριέχουν τα δικά τους μέτρα. Είναι τα ίδια οι μετρήσεις τους».
Τι είναι τότε οι αριθμοί; «Οι αριθμοί δεν είναι τίποτα περισσότερο από εμβλήματα: οι Κινέζοι προσέχουν να μην τα βλέπουν ως αυθαίρετα σύμβολα που εκφράζουν απαραίτητα ποσότητα.» Περισσότερο από το να μετρούν, οι κινέζικοι αριθμοί ταξινομούν, έχουν κυρίως μια λειτουργία πρωτοκόλλου. Έτσι «ένα» είναι το «όλον» και εκφράζει την οπή ή τον άξονα (που αποκαλείται και tao) γύρω από τον οποίο περιστρέφεται μια ρόδα, προξενώντας τις εναλλαγές, τις αντιθέσεις και τις μεταβάσεις συνδεόμενων αντιθέτων. Αυτές οι αντιθέσεις αποκαλούνται «δύο», αλλά αυτό δεν έχει καμία σχέση με το «ένα» συν «ένα». Δύο είναι το ζεύγος μέσα στο οποίο το yin και το yang εναλλάσσονται, διαχωριζόμενα και επανασυνδεόμενα. Η σειρά των αριθμών δεν ξεκινάει παρά στο «τρία». Μετά το τρία, τον πρώτο αριθμό, οι υπόλοιποι αριθμοί είναι όλοι τίτλοι γι’ αυτό που είναι «πολυάριθμο». Το τρία είναι η σύνθεσή τους, γι’ αυτό εκφράζει την ομοφωνία. Μονάχα τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να κατανοούμε τη λογική που οδήγησε τον στρατηγό να μην κηρύξει πόλεμο.
Μπορεί κανείς να μπει στον πειρασμό να πει ότι οι αριθμοί σε άλλες κουλτούρες έχουν μια συμβολική λειτουργία, σε αντίθεση με τους αριθμούς της δικής μας αριθμητικής. Όμως, είναι άραγε το «ένα» που αποκλείεται από την κινέζικη αριθμοσειρά περισσότερο συμβολικό από το δικό μας «ένα», που ξεκινάει την αριθμοσειρά με την προοδευτική πρόσθεση του εαυτού του στον εαυτό του: 1, 1+1, 1+1+1; Ασφαλώς, όπως είδαμε, το πρώτο καθιερώνει μια πολιτική που κατασκευάζει ομοφωνίες εις βάρος των πλειοψηφιών, κάτι πολύ αντιδημοκρατικό. Όμως, χωρίς το δεύτερο, δεν θα ήταν δυνατόν να διεξαχθεί μια ψηφοφορία που απαιτεί από κάθε ψηφοφόρο να είναι το «ένα», όπως και κάθε άλλος ψηφοφόρος, και επιτρέπει στις πλειοψηφίες να κυριαρχούν επί των ομοφωνιών και των μειοψηφιών. Εάν κάθε σύστημα αριθμητικής είναι αδιαχώριστο από τις ιδιαίτερες συμβολικές και πολιτικές του συνάφειες, δεν θα ήταν πιο σωστό να μιλάμε για «δημοκρατική αριθμητική» ή για «αστική αριθμητική», όπως ακριβώς μιλάμε για κινέζικη αριθμητική;
Αυτό που αποκαλούμε αριθμητική των Γιορούμπα αποκαλύπτει με ιδιαίτερη σαφήνεια την ιδιαιτερότητα της «δημοκρατικής αριθμητικής». Για εκείνους που ομιλούν τη γλώσσα των Γιορούμπα (περίπου 30.000 άνθρωποι, μετρημένοι ένας- ένας, δημοκρατικά), η μονάδα που χρησιμοποιείται για καταμέτρηση δεν είναι το αδιαίρετο «ένα» που αντιστοιχεί στο άτομο το οποίο καταμετρούν οι ψηφοφορίες. Αντί γι’ αυτό, η αριθμητική μονάδα αναπαριστά την κοινωνική μονάδα, που σε ένα κοινοτικό καθεστώς, όπως το δικό τους, είναι μια συλλογική μονάδα. Οι αριθμοί των Γιορούμπα δεν είναι επίθετα ή ουσιαστικοποιημένα επίθετα όπως οι δικοί μας, αλλά μάλλον ρήματα, που θέτουν αυτό που είναι κοινοτικό πάνω από αυτό που μετριέται. Το αριθμητικό τους σύστημα δεν ξεκινάει με το ένα, αλλά με σύνολα και δεν υπάρχει η ατομικιστική διαδικασία καταμέτρησης που πραγματοποιείται με τη βοήθεια των φυσικών αριθμών 1, 1+1, 1+1+1. Αυτό που από την παιδική μας ηλικία αποκαλούμε «φυσικοί αριθμοί» είναι τόσο αφύσικο όσο το μεμονωμένο άτομο, η αγορά ή η φαινομενική ανατολή του ήλιου κάθε πρωί. Η φυσικότητά τους είναι αποτέλεσμα μιας συγκεκριμένης διαδικασίας κοινωνικής κατασκευής.
Είναι σίγουρα πιο ακριβές –και ένδειξη μεγαλύτερου σεβασμού– να συμπεράνουμε ότι οι αριθμοί δεν έχουν από μόνοι τους σημασία, αλλά ότι η σημασία τους εξαρτάται από τα ιδιαίτερα νοήματα και χρήσεις μέσω των οποίων κάθε πολιτισμός μετράει, ταξινομεί και βάζει σε τάξη τον κόσμο. Πέρα από την εσωτερική τους δομή, ριζικά διαφορετική σε κάθε περίπτωση, ποια είναι λοιπόν η διαφορά ανάμεσα στα διαφορετικά μαθηματικά; Η απάντηση είναι, τελικά, η πολιτική. Ίσως οι Κινέζοι ή οι Γιορούμπα που δεν έχουν κοινωνική εξοικείωση με την αστική αριθμητική, να έφταναν να καταλάβουν ότι η έννοια του ίδιου βασίζεται στην πεποίθηση ότι οι ανθρώπινες ομάδες αποτελούνται από εξατομικευμένα υποκείμενα, το καθένα πανομοιότυπο με τον εαυτό του, όλα ίσα μεταξύ τους, μετρήσιμα και ικανά να προστεθούν. Και ασφαλώς, η εκλογική δημοκρατία, που βασίζεται σε αυτή την πεποίθηση, θα τους φαινόταν μια μάλλον πρωτόγονη μορφή πολιτικής οργάνωσης.
Η υπεράσπιση του ορθολογισμού και της εγκυρότητας άλλων συστημάτων αριθμητικής συνεπάγεται, συνεπώς, την υπεράσπιση του ορθολογισμού και της εγκυρότητας άλλων μορφών διακυβέρνησης, που δεν βασίζονται σε εκλογές οι οποίες μετρούν μεμονωμένα άτομα, και άλλων μορφών διοίκησης και οργάνωσης, που δεν απαρτίζονται από γραφεία και υπηρεσίες. Ο αποφασιστικός παράγοντας είναι ο τρόπος με τον οποίο η αριθμητική, η εκλογική δημοκρατία και η αφηρημένη γραφειοκρατική λογική θεωρούνται πλέον από το μεγαλύτερο μέρος του πλανήτη ως οι μόνοι έγκυροι τρόποι καταμέτρησης, λήψης συλλογικών αποφάσεων και οργάνωσης των κοινών υποθέσεων. Μάλιστα, ολόκληρος ο «διαφωτιστικός» ορθολογισμός θα μπορούσε να ιδωθεί ως ένα εγχείρημα κοινοτικής αποδιάρθρωσης, το οποίο, από τη στιγμή που πρωτοεμφανίστηκε μέχρι τις μέρες μας, στράφηκε ενάντια στις παραδοσιακές κουλτούρες και τη λαϊκή γνώση, μεταμφιεσμένο στη γλώσσα της νεοτερικότητας και της ανάπτυξης.
Αυτό που φαίνεται ως οικουμενικό είναι στην πραγματικότητα το εγχείρημα μόνο μιας μικρής ομάδας ανθρώπων, που κάποτε διέμεναν σε λίγες κωμοπόλεις και πόλεις της Ευρώπης. Το γεγονός ότι τα μαθηματικά τους έχουν επιβληθεί σε ένα μεγάλο μέρος του πλανήτη δεν θα πρέπει να μας κάνει να ξεχνάμε ότι και αυτά τα μαθηματικά είναι επίσης «γηγενή» και «αφυή» μαθηματικά – «γεννημένα εκεί», ανάμεσα σε ανθρώπους με έναν συγκεκριμένο τρόπο ζωής, σκέψης και μέτρησης, συλλογιστικής και υπολογισμού. Ο καρτεσιανός συντεταγμένος χώρος, οι φυσικοί τους αριθμοί, οι αποδείξεις τους – όλα εξέφραζαν και εκφράζουν τις περίεργες πεποιθήσεις τους, τον εξωτικό τους τρόπο κατανόησης του κόσμου. Ακόμα πιο περίεργο είναι το πώς αυτά τα μαθηματικά έχουν επιβληθεί ως η βάση μέτρησης όλων των άλλων μαθηματικών. Πρόκειται για μαθηματικά του αποκλεισμού: αποκλεισμού της παραδοσιακής γνώσης ως έγκυρης γνώσης, των τοπικών γλωσσών ως γλωσσών γνώσης, των καθημερινών ανδρών και γυναικών ως συλλογικών δημιουργών που αντλούν από τις παραδόσεις και τις κοινότητές τους για να παραγάγουν και να επικυρώσουν τη γνώση.
Ένα από τα επεισόδια που απεικονίζει με τον καλύτερο τρόπο την καταστροφική δύναμη των αστικών μαθηματικών είναι η «εξέγερση των κιλοθραυστών». Στα τέλη του 19ου αιώνα, οι αγρότες μιας περιοχής που συνορεύει με τις επαρχίες Sergipe και Bahia στην βορειοανατολική Βραζιλία εξεγέρθηκαν ενάντια στο μετρικό σύστημα. Επιτέθηκαν σε επιχειρήσεις και κατέστρεψαν τις ζυγαριές τους, επειδή απειλούνταν οι παραδοσιακές τους μέθοδοι ζυγίσματος, μέτρησης και αρίθμησης. Ο στρατός κατέπνιξε την εξέγερση με μεγάλη βία και επέβαλε το σύστημα που η επαναστατική γαλλική αστική τάξη είχε ανακηρύξει οικουμενικό. Αυτό το συμβάν αποκαλύπτει τη στενή συνενοχή μεταξύ ενός πολιτικού εγχειρήματος, ενός μαθηματικού εγχειρήματος και ενός στρατιωτικού εγχειρήματος: ο χώρος ολόκληρου του πλανήτη έπρεπε να ανασκευαστεί βάσει του καρτεσιανού μοντέλου, χωρίς ξεχωριστά μέρη με δικούς τους τρόπους μέτρησης, χωρίς τοπικούς κώδικες πίστης και αφοσίωσης, χωρίς τις σχέσεις αλληλεγγύης που είχαν υφανθεί από τις μεσαιωνικές συντεχνίες ή τους τοπικούς και κοινοτικούς δεσμούς αμοιβαίας βοήθειας.
Ακόμα πιο αξιοσημείωτη είναι η αστική ερμηνεία αυτού του συμβάντος. Στην El Pais, o Mario Vargas Llosa περιγράφει την εξέγερση των αυτόχθονων ως «μια θυσία εκείνου που είναι πραγματικό και εφικτό στον βωμό του φανταστικού και του χιμαιρικού». Αυτή η δήλωση απεικονίζει τέλεια το είδος της ιδεολογικής αντιστροφής βάσει της οποίας ολόκληρη η ιστορία των μαθηματικών –και η ιστορία γενικότερα– έχει γραφτεί: οι πρακτικές με τις οποίες οι αγρότες ζύγιζαν τους σπόρους και τα φρούτα για αιώνες ξαφνικά μετατρέπονται σε αποκυήματα της φαντασίας, ενώ ένα σύστημα, που ήταν οικουμενικό μονάχα στη φαντασία μιας μικρής ομάδας, γίνεται το μοναδικό εφικτό σύστημα.
Τα μαθηματικά μας, είχε πει ο φιλόσοφος Ludwig Wittgenstein, διατηρούνται όπως διατηρείται οποιοσδήποτε άλλος κοινωνικός θεσμός: επειδή οι άνθρωποι πιστεύουν σε αυτά. Στο βιβλίο του Σχόλια πάνω στα Θεμέλια των Μαθηματικών, συνέκρινε τα μαθηματικά με τον τραπεζικό θεσμό. Μόλις πάψουν οι άνθρωποι να έχουν εμπιστοσύνη σε αυτόν, καταρρέει.
Σε αυτά τα ζητήματα είμαστε όλοι Αυτόχθονες. Μέσα σε όλους μας ζει η μνήμη μιας γιαγιάς που, όπως η γιαγιά μου η Ρόζα στα βουνά της Καντάμπριας, μετρούσε την επιφάνεια της γης σε μονάδες που διέφεραν από το ένα μέρος στο άλλο, ανάλογα με τη γονιμότητα του εδάφους. Όλοι είμαστε Αυτόχθονες γιατί μέσα στον καθένα μας ζει ένα παιδί που «γεννήθηκε εκεί»: ένα παιδί που δεν έχει ακόμα μάθει γράμματα ή μαθηματικά. Ένα παιδί του οποίου η παιδική ηλικία ξεδιπλώθηκε σε έναν χώρο που δεν ήταν ομοιογενής. Όμως στον βαθμό που πιστεύουμε ότι τα δικά μας μαθηματικά είναι τα μοναδικά εφικτά μαθηματικά, είμαστε, επίσης, όλοι μας αποικιοκράτες.
Δεν μπορούμε να ξεφύγουμε εύκολα από τις προκαταλήψεις και τις παραδοχές του τόπου όπου γεννηθήκαμε. Γεννηθήκαμε στα «αστικά μαθηματικά». Μπορούμε, ωστόσο, να αρχίσουμε να τα βλέπουμε ως, απλά, μία μορφή μαθηματικών μεταξύ πολλών.
Μετάφραση: Βαρίνια Μπόμπολη
Ο Emmanuel Lizcano είναι μαθηματικός, φιλόσοφος, κοινωνιολόγος και καθηγητής στο Εθνικό Πανεπιστήμιο εξ αποστάσεως Εκπαίδευσης της Μαδρίτης. Το κείμενο αυτό είναι η συντομευμένη εκδοχή της εναρκτήριας ομιλίας που έδωσε στο 2ο διεθνές συνέδριο Εθνομαθηματικών, στο Ouro Preto της Βραζιλίας, τον Αύγουστο του 2002.
Πηγή: Emmanuel Lizcano (2009). Bourgeois Maths: Questioning the supremacy of the mathematics of the European tribe (μτφρ. Thomas H. Pruiksma). Resurgence 254, 30-32.
Δημοσιεύτηκε στο Πρίσμα αρ. 164, στις 14 Οκτωβρίου 2023.
Digital Landscapes 